<中学・高校数学の手引き> 〜クイズやパズルも紹介中〜

中学・高校数学を分かりやすく伝えていきます。

中3 因数分解③ 「展開公式を使った因数分解 パート1」

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[2]乗法の展開公式を利用する

 
 
展開では(a+b)²をa²+2ab+b² にしていました。
 
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しかし
因数分解はこれと逆で、
a²+2ab+b² を(a+b)²に直します。
 

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このように、
展開とは反対の動きをすることで因数分解することができます。
 
 
 
 
 
では①~④のパターンをひとつずつみていきましょう。
 
 
 

 

 

 

①:a²+2ab+b² ⇒(a+b)²

 
a²+2ab+b² の形をした式は(a+b)²の形に因数分解できます。
 
頭とお尻の項が+の二乗になっていて、真ん中の項が頭とお尻の積の2倍になっていたら①のパターンだなぁと思ってもらってオッケーです。
 
 
 
では問題で練習してみましょう。
 
 
 
 
 
 
問題.
次の式を因数分解してみましょう。
 
(1)x²+4x+4
 
(2)x²+10x+25
 
(3)x²−12x+36
 
(4)3x²+12x+12
 
 
 
解答.
 
因数分解する上でまずやって欲しいことは、共通因数を見つけてくくることです。
共通因数でくくると式が見やすくなります。
 
また、今回の問題は全てa²+2ab+b² の形になっているのでa²+2ab+b² ⇒(a+b)²に因数分解します。
 
(1)
頭とお尻の項が+の二乗になっていて、真中の項が頭とお尻の項の2倍になっています。
 
頭はxの二乗になっていて、お尻は+2の二乗になっています。
 
x²+4x+4=(x+2)²と因数分解できます。
 
(2)〜(4)も同様にやりましょう!
 
 
 
(2)(x+5)²
 
(3)(x−6)²
 
(4)
3が共通因数になっているので、まずは3でくくりましょう。
3(x²+4x+4)
となり、
3(x+2)²と因数分解できます。
 
 
 
 
 
 
 
ではもう一問!先ほどよりは少しずつムズかしいかも…
 
 
問題.
(1)4x²+12xy+9y²
 
(2)18x²−48xy+32y²
 
(3)a²x²+2abx+b²
 
 
 
 
 
解答.
 
 
繰り返しになりますが、
因数分解する上でまずやって欲しいことは、共通因数を見つけてくくることです。
共通因数でくくると式が見やすくなります。
 
また、今回の問題は全てa²+2ab+b² の形になっているのでa²+2ab+b² ⇒(a+b)²に因数分解します。
 
 
(1)
 
頭とお尻の項が+の二乗になっていて、真中の項が頭とお尻の項の2倍になっています。
 
頭は2xの二乗になっていて、お尻は3yの二乗になっています。
 
 
4x²+12xy+9y²=(2x+3y)²と因数分解できます。
 
 
(2)
共通因数が2です。
2でくくりましょう。
 
2(9x²−24xy+16y²)
 
後はカッコ内を因数分解します。
すると、
2(3x−4y)²と因数分解できます。
 
 
(3)
共通因数はなしです。
 
 
頭がaxの二乗、お尻がbの二乗、真中が頭とお尻の積の2倍になっています。
 
(ax+b)²と因数分解できます。
 
 
 
 
今回はここまでです。
因数分解はとにかく問題をいっぱいこなして、慣れるのがベストなので類題をいっぱい解いてみてくださいね!